lunes, abril 16, 2007

El problema de probabilidad de 'El curioso incidente del perro a medianoche'

Las últimas vacaciones de Semana Santa me han servido, aparte de para no hacer nada de nada (literalmente) durante horas, para terminar un par de libros: en primer lugar el que ya tenía entre manos, y del que tarde o temprano terminaré hablando aquí porque es un libro que me ha encantado, y luego el que tenía pendiente desde que me lo regalaron en enero.


Este último libro es 'El curioso incidente del perro a medianoche' de Mark Haddon, en el que el autor utiliza el punto de vista de un niño autista para, a partir del curioso incidente del título, acercarnos a su particular forma de ver y entender el mundo que le rodea.

Se trata de un libro que se lee rápidamente, muy ameno y entretenido, ágil a la hora de presentar la acción y que hace fácil entender las características y peculiaridades del tipo de autismo del protagonista.

Sin embargo, si he traído a colación este libro es para hablar del problema de probabilidades que, en un momento determinado, comenta en su libro el niño protagonista y que os copio a continuación.


El problema de Monty Hall:

Estás en un concurso en la televisión. En este concurso la idea es ganar como premio un coche. El locutor del programa te enseña tres puertas. Dice que hay un coche detrás de una de las puertas y que detrás de las otras dos hay cabras. Te pide que elijas una puerta. Tú eliges una puerta, que no se abre todavía. Entonces, el locutor abre una de las puertas que tú no has elegido y muestra una cabra (porque él sabe lo que hay detrás de las puertas). Entonces dice que tienes una última oportunidad antes de que las puertas se abran y consigas un coche o una cabra. Te pregunta si quieres cambiar de idea y elegir la otra puerta sin abrir. ¿Qué debes hacer?


La solución que se da al problema es que se debe cambiar la puerta elegida ya que haciéndolo se tiene un 66,67% de probabilidades de ganar el coche. Se utilizan dos formas para justificar que, cambiando de puerta, 2 veces de 3 ganas el coche: la demostración según el desarrollo matemático y otra demostración más visual que reproduzco a continuación.



Efectivamente, como se demuestra en este diagrama, cambiando de puerta (opciones en verde) 2 de cada 3 veces ganarías el coche, mientras que si decides quedarte con la puerta que elegiste (opciones en naranja) sólo ganarías el coche 1 de cada 3 veces. Pero...


Pero entonces es cuando repaso de nuevo el enunciado y me surge un problema con esta solución porque, según podemos leer, después de que hayamos elegido nuestra puerta el presentador abre una de las otras dos puertas y nos enseña que tras ella hay una cabra. Por tanto, y siempre en mi opinión, el diagrama anterior ya no es válido y debería quedarnos uno tal que así:



Como podemos ver, una de las puertas desaparecería (opciones en gris) porque ya sabemos que detrás hay una cabra (y porque sabiendo que hay una cabra no vamos a elegirla a la hora de hacer el cambio de puerta) y nos quedarían dos puertas: la nuestra y la otra. En esta nueva situación, tanto si elegimos quedarnos la nuestra (naranja) como si elegimos cambiarla (verde), las probabilidades de que ganar el coche son las mismas, esto es, del 50%.


Claro, que también es posible que yo me equivoque.

¿Vosotros qué opináis?

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12 COMENTARIOS:

Anonymous Ferio dijo...

Para serte sincero, opino que, aunque entiendo el enunciado, la estadística nunca se me dio bien (aunque últimamente me intereso más por ella) y no sé si estará bien su enunciado o el tuyo.

Lo que sí sé es que ese mismo caso viene incluido en 2 libros que he leído últimamente: uno es el que mencionas, y otro Matemática, ¿estás ahí?, de Adrián Varela, y de los que hablaré próximamente en mi blog si me da el ancho de banda mental, que últimamente ando espesito.

16 de abril de 2007, 12:16  
Anonymous Ricardo G. Yayo dijo...

Por curiosidad, ¿qué solución dan en ese segundo libro?

16 de abril de 2007, 12:32  
Anonymous odo dijo...

Creo que el análisis que haces no es correcto. Date cuenta de que la primera elección de puerta la haces antes de que el presentador abra una puerta con cabra, con lo que no la puedes descartar a priori.

Tienes razón en que nunca elegirás una puerta en la que ya te han mostrado que no está el coche, pero esa es la segunda elección (mantener o cambiar la puerta). Por eso de cada cuadrito azul cuelgan dos opciones. Hay es donde eliges entre dos, pero inicialmente tienes que elegir entre tres.

Otra forma de verlo es que, independientemente de lo que elijas al principio (cabra o coche) como hay dos cabras, el presentador siempre va a tener la posibilidad de mostrar una puerta en la que hay otra cabra. En dos de cada tres ocasiones habrás elegido inicialmente una puerta con cabra, por lo que el presentador tendrá que elegir la única otra puerta con cabra. En ese caso ganas información sobre lo que sabías antes, porque la única puerta no elegida es la que tiene el coche.

16 de abril de 2007, 12:39  
Anonymous Ricardo G. Yayo dijo...

Odo, tienes razón en que la primera elección es entre 3 puertas y ahí sí que nos valdría el primer diagrama pero sólo si la elección de cambiar de puerta nos la dieran antes de abrir una de las no elegidas.
Fíjate que la pregunta final es si vas a cambiar o no de puerta y que en ese momento ya sólo quedan dos puertas por abrir, por tanto creo que las probabilidades de ganar el coche o la cabra son las mismas.

16 de abril de 2007, 12:53  
Anonymous odo dijo...

Siento tener que llevarte la contraria, pero tu razonamiento no es correcto.

Aunque sólo queden dos puertas para elegir no hay igual proporción de posibilidades de que detrás de ellas haya coche o cabra. En dos de cada tres casos habremos elegido inicialmente una puerta con cabra, por lo que en la que queda sin abrir, necesariamente tiene que haber un coche (ya que el presentador habrá abierto la otra que tenía cabra). Sólo en una de cada 3 ocasiones habremos elegido inicialmente la puerta del coche y, por tanto, sólo en una de cada 3 ocasiones sería rentable NO cambiar de puerta.

La situación no es simétrica porque la elección inicial no lo es y se se "arrastra" durante las decisiones siguientes.

Ahora bien, si no te lo crees, podemos jugar. Tres cajas, dos vacías y una con 100€. Yo pago 55€ por jugar. Elijo una caja. Tú abres una de las otras cajas y me enseñas que está vacía. Yo cambio de caja a la que no has abierto y me quedo con lo que haya dentro. Lo repetimos el número de veces que yo quiera.

¿Hace?

20 de abril de 2007, 10:37  
Anonymous Ricardo G. Yayo dijo...

Estás empezando a convencerme...
De todas maneras, podemos jugar un par de veces si pasas por Madrid o cuando suba a la Asturcon. Y en lugar de 100€ podemos poner en juego alguna consumición ;-)

20 de abril de 2007, 11:34  
Anonymous odo dijo...

O un nova blanco ;)

Si tengo tiempo (cosa harto improbable) igual hago un programita sencillo que simule el juego.

20 de abril de 2007, 11:57  
Anonymous odo dijo...

Claro que, ¿para que programar nada si buscando por internet seguro que ya hay alguien que lo ha hecho?

http://www.userpages.de/monty_hall_problem/

Por cierto, muchísima información sobre el asunto en la wikipedia, por supuesto:

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

20 de abril de 2007, 12:01  
Anonymous Ricardo G. Yayo dijo...

Muchas gracias, Odo. Voy a echarles un ojo para ver si me puedo jugar los dineros contigo :D
(Lo del Nova blanco no cuela XDD )

20 de abril de 2007, 12:23  
Anonymous Ricardo G. Yayo dijo...

Totalmente convecido tras ver los enlaces. Gracias de nuevo, Odo.
Recuérdame que no me juegue nada contigo cuando se trate de problemas de probabilidades ;-)

22 de abril de 2007, 16:37  
Anonymous odo dijo...

Vaya, tenía que haberte seguido la corriente y haberme ganado una pasta :(

Está visto que no valgo para hacer el timo de la estampita :)

Ahora en serio, me alegro de que te hayan servido los enlaces.

saludos

Odo

22 de abril de 2007, 20:53  
Anonymous Anónimo dijo...

Aunque esto no se lo va a leer nadie, y se va a perder en la infinidad de internet, solo decirte Odo que usando ese enlace, y cambiando la caja siempre durante 20 veces, he acertado 8 y he perdido 12 (es decir 40%).

Tu opinion es 1 poco demagogica, creo que Ricardo se dejo convencer muy facilmente. En la primera fase siempre hay un 66% de probabilidades que te toque, motivo por el cual tuu dices que siempre es mejor cambiarla.

Pero en la segunda fase siempre hay un 50%, y eso anula la primera premisa, lo mires por donde lo mires. A mi me parece 1 pequeña trampa o broma...

De todos modos no es algo que se pueda afirmar con rotundidad, ya que ni tan solo grandes matematicos del mundo, se han puesto de acuerdo sobre este problema.

4 de marzo de 2009, 18:40  

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